Rauschen bei Operationsverstärkern

Grundlegendes

Als Grundlage zum Rauschen sollte mindestens meine Kurzfassung bekannt sein. Weiter haben Operationsverstärker neben dem thermischen Rauschen ihrer Beschaltung (Widerstände) auch ein Strom- und Spannungsrauschen. Dies ist im Datenblatt als Rauschintensität in pA/√Hz und nV/√Hz angegeben. Fehlt diese Angabe in einem Datenblatt kann man davon ausgehen, dass der OPV sehr stark rauscht und es lieber verschwiegen wird. Das tatsächliche Rauschen der OPV-Schaltung hängt von den Rauschintensitäten, Verstärkungsfaktor und Widerstandswerten der Beschaltung ab. Je rauscharmer ein Operationsverstärker umso höher ist üblicherweise auch der Ruhestrom.
Folgend werde ich erklären wie man das Rauschen an einem Instrumentenverstärker berechnet. Damit wird der einfachste Fall eines einzelnen nicht-invertierenden Operationsverstärkers betrachtet, so wie das hintereinander Schalten und Addieren von Rauschbeiträgen. Eine konkrete Quelle zur Berechnung ist das Datenblatt des LT1028 ab Seite 11 (lokale Kopie).

Als Wiederholung und zur Berechnung benötigt, hier nochmal abgebildet die Formel für das thermische Rauschen:

Daraus zur Berechnung der thermischen Rauschintensität:

Gesamtrauschen einer Operationsverstärker Schaltung

Wie schon erwähnt, das Rauschen kommt nicht alleine aus dem Datenblatt des IC. Aus dem Datenblatt kommt die Rauschspannung (e_N,opv) und oft auch den Rauschstrom (i_N,opv).
Das thermische Rauschen (e_N,th) resultiert aus den Widerstandswerten der Beschaltung. So wie die Rauschintensität des Rauschstrom.
In folgender Abbildung und Formeln soll die Berechnung prinzipiell erklärt werden:

Aus den Widerständen der Beschaltung wird ein equivalänter Widerstand berechnet. Daraus resultiert das thermische Rauschen und die Rauschbeiträt des Rauschstrom. Aus diesen drei Rauschintensitäten kann die Eingangsrauschintensität (e_N,in) berechnet werden.

Instrumentenverstärker aus drei OPVs

Der Instrumentenverstärker ist aus verschiedenen Gründen von mir bevorzugt. Die Möglichkeiten der hohen Verstärkung (verteilt über die zwei Verstärkerstufen) mit einem nahezu unbelastenden Abgriff der Eingangssignale durch U1 und U2. Sowie die "integrierte" Balun-Funktion, also ein symmetrisches (differential/balanced) Signal in ein asymmetrisches (single-ended/unbalanced) Signal wandelt.
Sei es eben ein schwaches Signal welches gemessen/verstärkt und dabei möglichst nicht belastet und somit verfälscht werden soll. Oder eine symmetrische Signalquelle und nur ein "normaler" (und kein differentieller) ADC zum Digitalisieren der Signale zur Hand ist.
Instrumentenverstärker gibt es natürlich als ein IC, wie den INA116 (lokale Kopie). Für meine Anwendung war aber das eigen Rauschen der verfügbaren integrierten Instrumentenverstärker zu groß. Deshalb betrachte ich in folgendem Berechnungsbeispiel einen Instrumentenverstärker aus drei OPVs und gehe auf die einzelnen Schaltungsteile ein. Erst die Berechnung der Verstärkung und dann bezüglich der Rauschintensität.
Ich glaube am meisten verbreitet ist die Formel für die erste Stufe (links der roten Linie) zur Berechnung der Verstärkung. Dabei wird angenommen/festgelegt, dass der Differenz-verstärker (Stufe 2, rechts der roten Linie) eine Verstärkung von Eins besitzt (R1 = R2).

A_V1 berechnet die Verstärkung der ersten Stufe. A_V2 berechnet die Verstärkung der zweiten Stufe. Die Formeln kann man zusammenfassen und mit folgender Annahme vereinfachen: V_in+ = 1 und V_in- = -1 (differentielles Signal / 180° zueinander gedreht)
Daraus entsteht folgende Formel:

Die "Rausch"-Berechnung

Nun werden alle bekannten Formeln kombiniert. Das heißt vom Instrumentenverstärker wird das Gesamtrauschen berechnet.
Es wird mit dem Indizes t1 Bezug auf einen der beiden modifizierten nicht-invertierenden Verstärker die erste Stufe (linker Teil im Bild oben) genommen. Mit dem Indizes t2 auf den Differenzverstärker.
Bei dem dargestellten Instrumentenverstärker fehlt der Source-Widerstand R_S zur Berechnung des equivalänten Widerstandes. Dieser kann zum Beispiel 50 Ohm gegen Masse sein, wenn es sich um ein 50 Ohm System handelt. Ich habe 560 Ohm angenommen/festgelegt.
In den unten dargestellten Formeln sind die Widerstandswerte willkürlich gewählt um mit Werten im Beispiel rechnen zu können. Die OPV-Daten sind vom LT6200-5 (lokale Kopie).
Folgende e_opv und i_opv Werte sind aus dem Datenblatt des LT6200-5. e_th ist das jeweilige thermische Rauschen abhängig des equivalänten Widerstandes.
Teil 1 des Instrumentenverstärkers:

Mit e_t1,out ist die Ausgangsrauschintensität eines der beiden nicht-invertierenden Verstärkern berechnet. Bei der Berechnung von e_t2 werden beide nicht-invertierenden Verstärker der ersten Stufe beachtet.

Mit e_out ist nun die gesamte Ausgangsrauschintensität des Instrumentenverstärkers berechnet. Und mit e_in die Eingangsrauschintensität. Diese Werte konnte ich auch im Rahmen der Mess- und Ablesegenauigkeit messtechnisch erfassen.
Hier noch die Formeln in einer Excel-Tabelle aufbereitet: download InAmpGainNoiseCalc.xlsx

Zusammenfassung

Mit diesen Formeln ist es möglich die Eingangs- und Ausgangsrauschintensität eines diskret aufgebautem Instrumentenverstärkers zu berechnen und gegebenenfalls die Bauteile anzupassen. download Formeln.docx
Mit dem Wissen meiner Kurzfassung zum Thema Rauschen und besonders dem hilfreichem Dokument: Signal Chain Noise Analysis for RF-to-Digital Receivers (lokale Kopie) können die Signalpfade bezüglich SNR, Rauschgrund usw. voruntersucht und dimensioniert werden.

Die hier dargestellten Formeln und Kenntnisse habe ich im Rahmen meiner Masterarbeit erarbeitet, simuliert und gemessen. Wichtig ist: Formeln und Messung können sehr unterschiedlich ausfallen. Meistens nach dem Motto “Wer misst, misst Mist.” Aber auch zu Schulden diverser Vereinfachungen in den Formeln.
Falls in den Formeln doch Fehler enthalten sein sollten, bin ich über jede Verbesserung dankbar.